piday

Menswetenschappen, natuurwetenschappen, cultuurwetenschappen, formele wetenschappen, toegepaste wetenschappen, interdisciplinair, ...

piday

Berichtdoor jm074 » 14 maart 2009, 19:10

Vandaag, 14 maart is piday! zie:
http://www.piday.org
Omdat het getal pi zo'n belangrijke constante is loont het misschien de moeite er wat meer over te weten. Ik neem mij voor er werk van te maken.

Groetjes,
jm074
"We are students of nature, and we adjust our concepts as the lessons continue"
P.James Peebles
jm074
 
Berichten: 800
Geregistreerd: 21 okt 2006, 16:00

Pi, een merkwaardig getal

Berichtdoor jm074 » 19 maart 2009, 19:04

Wij kennen het allemaal, het getal dat de verhouding aangeeft van een cirkelomtrek tot zijn doormeter. William Jones gaf het in 1707 een naam en een symbool: pi of π. In 1737 nam Leonard Euler dit symbool eveneens aan en sindsdien werd het door iedereen aanvaard. Wat misschien niet iedereen weet is dat pi een transcendent getal is: een getal dat niet kan worden berekend tot op een laatste decimaal. Ferdinand Lindemann opperde in 1882 het idee van een transcendent getal en twee jaar later toonde Johann Lambert aan dat transcendente getallen wel degelijk bestaan. Daarmee kwam er een einde aan het vruchteloos zoeken naar de kwadratuur van de cirkel.

Lang voor het getal een naam kreeg was men reeds op zoek naar zijn juiste waarde. Rond 2000 v. Chr. dachten de Babyloniërs dat de omtrek van ee cirkel gelijk was aan 3+1/8 maal de doormeter, 3,125 dus. Eén juiste decimaal! Ook de Egyptenaren hadden die toen al met 3,16045. De Chinezen hielden het rond 1200 v. Chr. nog bij 3 en in de bijbel lezen wij dat Salomon (rond 550 v.Chr.) een bronzen cirkelvormig bekken liet gieten met een doormeter van tien el en dat een draad rond de omtrek dertig el lang was.

Rond 250 v. Chr. berekende Archimedes de verhouding tussen omtrek en doormeter van een cirkel uit het gemiddelde van omtrekken van ingeschreven en omgeschreven veelhoeken. Met 96-hoekige polygonen kon hij drie juiste decimalen bepalen. Zijn record hield meer dan 500 jaar stand tot Liu Hiu het in 263 na Chr. verbeterde tot vijf juiste decimalen. Rond 480 werd dat record weer gebroken door Tsu Ch'ung; hij berekende zeven juiste decimalen. Dan was het wachten tot 1429. Toen berekende Al-Kashi veertien juiste cijfers achter de komma. Het was het laatste record dat meer dan 100 jaar standhield.

In 1596 bracht Ludolf Van Ceulen het op 20 en in 1615 op 35. Sharp volgt met 71 juiste decimalen in 1699. John Machin, die een trigonometrische methode vond om pi met grote nauwkeurigheid te berekenen, bracht het record in 1706 op 100. Daarmee had men kunnen stoppen, want elf cijfers achter de komma is reeds voldoende om de lengte van de evenaar te berekenen tot op een fractie van een millimeter als de diameter van de aarde gekend is en met dertig decimalen bereikt men dezelfde nauwkeurigheid voor de omtrek van het tot nu toe gekende heelal. Men wist toen echter nog niet dat pi een transcendent getal is en de pogingen om het nog nauwkeuriger te berekenen stopten voorlopig slechts in 1874 toe William Shanks 707 decimalen berekende, waarvan er achteraf maar 527 correct bleken te zijn.

Dan kwam de 20ste eeuw met de computers en de manie om daarmee, zonder enig praktisch nut, het record te verbeteren. Ferguson was de eerste die er, in 1947, in slaagde meer dan 700 juiste decimalen te berekenen. In 1958 bracht Genuys het tot 10.000, Shank en Wrench in 1961 tot meer dan 100.000 en Guilloud en Bouyer in 1973 tot meer dan één miljoen. De recordpogingen stopten echter niet. In 1982 brachten Kanada, Yoshino en Tamura het reeds tot meer dan 16 miljoen decimalen. Dezelfde Kanada en medewerkers overschreden de grens van 100 miljoen in 1987, die van één miljard in 1989 en zo ging het voort tot in september 1999 het officiële wereldrecord op meer dan 206 miljard juiste decimalen werd gebracht. Een grote computer aan de universiteit van Tokio moest daarvoor in totaal meer dan 83 uur rekenwerk verrichten.

In 1996/1997 werden door Bailey, Borwein en Plouffe algoritmen gevonden waarmee een willekeurige decimaal kan worden berekend zonder de voorgaande te kennen.

Pi is een merkwaardig getal dat niet enkel de verhouding van doormeter en omtrek van een cirkel aangeeft. Het komt in talrijke mathematische en fysische relaties voor zonder dat een rechtstreks verband met een cirkel (of een ellips) kan worden aangetoond. Het is bovendien een universele constante, die altijd en overal dezelfde waarde heeft. Dat kan niet met absolute zekerheid worden gezegd voor alle natuurconstanten.

Groetjes,
jm074
"We are students of nature, and we adjust our concepts as the lessons continue"
P.James Peebles
jm074
 
Berichten: 800
Geregistreerd: 21 okt 2006, 16:00

Berichtdoor Heeck » 19 maart 2009, 20:29

JM,
Misschien geen heelal maar een pilal ?
Wat ik niet zomaar opdiep uit mijn rommel-archief is een demo door een tamelijk sociale autist die in gestaag tempo alsmaar opeenvolgende decimalen van PI kreeg voorgeschoteld waarin ze af en toe een "foute" decimaal hadden gestopt.
Die bleek door hem te worden gedetecteerd.
Staat me bij als een tamelijk uitgebreide video met de bekende Ramachandran daarbij.

Roeland
Begrip is een waan met een warm gevoel, dus MIJDT SPIJT.
www.edge.org
Avatar gebruiker
Heeck
 
Berichten: 6546
Geregistreerd: 20 okt 2006, 22:09
Woonplaats: Leeuwarden

Berichtdoor Faction Fictory » 19 maart 2009, 20:36

Daniel Tammet heette die, er is een BBC documentaire gemaakt waar ie inderdaad ook bij Ramachandran langs gaat.
Faction Fictory
 
Berichten: 1800
Geregistreerd: 04 mei 2008, 09:27

Berichtdoor Heeck » 19 maart 2009, 20:43

Faction Fictory schreef:Daniel Tammet heette die, er is een BBC documentaire gemaakt waar ie inderdaad ook bij Ramachandran langs gaat.


FF,
Dank ! Gelijk beter (=bereikbaarder ?) opgeborgen.
http://www.optimnem.co.uk/pi.php

Roeland
Begrip is een waan met een warm gevoel, dus MIJDT SPIJT.
www.edge.org
Avatar gebruiker
Heeck
 
Berichten: 6546
Geregistreerd: 20 okt 2006, 22:09
Woonplaats: Leeuwarden

Berichtdoor Blueflame » 20 maart 2009, 13:13

JM074 schreef:Het komt in talrijke mathematische en fysische relaties voor zonder dat een rechtstreks verband met een cirkel (of een ellips) kan worden aangetoond.


??

Mvg.
Nonsense is our core business
Avatar gebruiker
Blueflame
Site Admin
 
Berichten: 4139
Geregistreerd: 20 okt 2006, 12:43

Berichtdoor jm074 » 20 maart 2009, 17:56

Blueflame schreef:
JM074 schreef:Het komt in talrijke mathematische en fysische relaties voor zonder dat een rechtstreks verband met een cirkel (of een ellips) kan worden aangetoond.


??

Mvg.


Blue,

Zie op de Engelstalige Wiki voorbeelden voor pi in fysica en wiskunde. Persoonlijk werd ik verrast door het verschijnen van pi in de berekening van de tijd nodig voor de contractie van een ééndimensionaal stelsel van twee puntmassa's. Ik berekende die tijd door numerieke integratie en vond steeds een factor 0,785... Het duurde een tijdje voor ik doorhad dat dit pi/4 is. Een rechtstreeks verband met een cirkel of bol was duidelijk niet aanwijsbaar, maar dat belet niet dat er een onrechtstreeks verband kan zijn, bvb. omdat de zwaartekrachtvelden bolvormig zijn.

De formule T = pi/2(S³/2G.M)^0,5 is ook geldig voor de contractie van een homogeen bolvormig stelsel, zoals een isotroop heelal. Pi komt zodoende bvb. ook voor in de berekening van de kritische dichtheid van het heelal: d = 3H²/8pi.G kg/m². H is daarin de Hubble-parameter.

Groetjes,
jm074
"We are students of nature, and we adjust our concepts as the lessons continue"
P.James Peebles
jm074
 
Berichten: 800
Geregistreerd: 21 okt 2006, 16:00

Berichtdoor Blueflame » 21 maart 2009, 01:32

Dat herinner ik me nog, JM : viewtopic.php?p=16892#16892 .

Zal overigens dit weekend zeker eens op wiki gaan rondneuzen en meer in het bijzonder http://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Physics . Ik zie dat daar de derde wet van Kepler ook bij staat ( :idea: ). De verklaring voor het opduiken van Pi zal waarschijnlijk te vinden zijn op http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_ ... ate_system .

Mvg.

edit for link-correctie.
Laatst bijgewerkt door Blueflame op 21 maart 2009, 14:09, in totaal 1 keer bewerkt.
Nonsense is our core business
Avatar gebruiker
Blueflame
Site Admin
 
Berichten: 4139
Geregistreerd: 20 okt 2006, 12:43

Berichtdoor LordDragon » 21 maart 2009, 01:38

ha leuk, volg met belangstelling maar kweet niet zoveel over pi, links eens doornemen, maar kvind het wel interessant. (de zoektocht naar een verband/verklaring)

MVG, LD.

ps blue, dat spherical ccordinate system levert bij mij volgende op:

Wikipedia does not have an article with this exact name. Please search for Spherical coordinate system. in Wikipedia to check for alternative titles or spellings.

* Start the Spherical coordinate system. article or add a request for it.
* Search for "Spherical coordinate system." in existing articles.
* Look for pages within Wikipedia that link to this title.


en als ik deze neem:

Search for "Spherical coordinate system." in existing articles.

dan krijg ik dit

No article title matches

No page with that title exists.

You can search again:

* Titles on Wikipedia are case sensitive, except for the first character; please check alternate capitalizations and consider adding a redirect here to the correct title.
* See all pages that begin with this prefix.
* See all pages within Wikipedia that link to this page.

If you are logged in, you can create this article:

* Log in to Wikipedia, or register an account if you don't have one yet.
* Read Wikipedia:Your first article.
* Gather references to the source(s) of your information.
* Create the page including your references.
Or you can request that this page be created.




:( , LD.
Fear is the mindkiller.
Avatar gebruiker
LordDragon
 
Berichten: 587
Geregistreerd: 11 nov 2008, 17:22
Woonplaats: oost-vlaanderen

Berichtdoor Blueflame » 21 maart 2009, 14:11

Het punt stond aan mijn link geplakt.
Het is dus : http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_ ... ate_system .
Nu zal't wel marcheren. Heb helaas andere zaken waar ik mijn aandacht moet op richten vandaag. Misschien morgen.

Mvg.
Nonsense is our core business
Avatar gebruiker
Blueflame
Site Admin
 
Berichten: 4139
Geregistreerd: 20 okt 2006, 12:43

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 08 jun 2011, 10:43

Kan ik me zorgen maken over het getal Pi omdat dit biljoenengetal een benadering is van de werkelijkheid? neem nu dat het getal Pi slechts 4 duizendste naast het exacte zit, dat het bvb. 3.1375 moet zijn (want dit is ook een benadering) i.p.v. 3.1415..... dan is onze omtrek van de aarde maar liefst een 50 tal kilometer kleiner ... denk ik.
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor Dwarsdenker » 10 jun 2011, 10:13

ferrar schreef:Kan ik me zorgen maken over het getal Pi omdat dit biljoenengetal een benadering is van de werkelijkheid? neem nu dat het getal Pi slechts 4 duizendste naast het exacte zit, dat het bvb. 3.1375 moet zijn (want dit is ook een benadering) i.p.v. 3.1415..... dan is onze omtrek van de aarde maar liefst een 50 tal kilometer kleiner ... denk ik.

De omtrek van de aarde zal heus niet veranderen door een misrekening van het getal pi :)

pi is de exacte verhouding tussen de middellijn en de omtrek van een cirkel. Dit IS de werkelijkheid. pi is een rëel getal (in alle betekenissen van het woord), alleen kan het niet uitgedrukt worden als een breuk van twee gehele getallen. Ondertussen is de decimale waarde al wel EXACT gekend tot miljoenen cijfers achter de komma.
Wetenschap is gericht op het zoeken naar de best mogelijke verklaring.
Avatar gebruiker
Dwarsdenker
 
Berichten: 470
Geregistreerd: 01 jul 2009, 12:09

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 10 jun 2011, 14:24

Exact heeft de betekenis van juist, waarom is Pi dan een benadering?
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor Digit » 10 jun 2011, 14:33

ferrar schreef:Exact heeft de betekenis van juist, waarom is Pi dan een benadering?

Pi is géén benadering, het is een verhouding tussen twee lengtes. En die is exact. Maar we kunnen er enkel benaderingen van opschrijven omdat er teveel decimalen zijn (nl. oneindig) om ze allemaal op te schrijven.

Groetjes,

Digit
Wat is, IS !
Avatar gebruiker
Digit
 
Berichten: 8724
Geregistreerd: 09 nov 2006, 09:03

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 10 jun 2011, 16:06

wanneer de diameter van mijn cirkel 1 cm is, hoeveel is dan de omtrek van mijn cirkeltje in centimeter? (exact?)
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor Dwarsdenker » 10 jun 2011, 16:19

pi cm
Wetenschap is gericht op het zoeken naar de best mogelijke verklaring.
Avatar gebruiker
Dwarsdenker
 
Berichten: 470
Geregistreerd: 01 jul 2009, 12:09

Re: piday

Berichtdoor Jan Willem Nienhuys » 10 jun 2011, 16:43

Je kunt wel benaderingen van pi opschrijven, in beginsel tot willekeurig ver decimalen achter de komma als je maar voldoende rekenkracht hebt, maar uiterst strikt genomen kun je erover discusiëren of het oneindige wel 'bestaat' of dat het slechts een handige manier van spreken is. Als je vindt dat het toch duidelijk is dat er oneindig veel getallen bestaan, dan zijn we klaar. Dan kun je ook praten over oneindig voortlopende rijen decimalen en dergelijke.

Als je het oneindige wilt uitbannen, omdat het niet bestaat, dan heb je een probleem. Hoe kun je dan nog wiskunde doen? Weliswaar doen wiskundigen nooit oneindig veel dingen maar ze hebben het beginsel van volledige inductie (al bedacht door Pascal). Dat maakt het mogelijk om in een eindig aantal stappen iets te bewijzen dat voor alle gehele getallen klopt. Maar als je je op het standpunt stelt dat er helemaal niets zoiets is als 'alle gehele getallen', dan wordt het allemaal veel ingewikkelder, zonder dat je daardoor opeens meer kunt bewijzen.

Dit is relevant, want de bewering dat pi de verhoudiung is tussen de lengtes van middellijn en omtrek van een cirkel, berust op het idee dat lengtes bestaan. Maar de lengtes waar het hier over gaat zijn gedachtencontructies die wezenlijk berusten op oneindige processen zoas limieten en beanderingen. Dat een rechte lijn 'ononderbroken' is, zit hem in een volledigheidsaxioma dat min of meer gelijkwaardig is met het feit dat een lijn op te vatten is als een representatie van de verzameling der reële getallen. Maar of die reële getallen bestaan is dubieus. Het zijn er meer dan je kunt tellen. OK, ze bestaan, maar dan wel in onze wiskundige gedachten. er is geen fysiek iets dat er bewijsbaar mee kan corresponderen.
Jan Willem Nienhuys
 
Berichten: 787
Geregistreerd: 09 dec 2007, 11:09
Woonplaats: Waalre, Nederland

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 10 jun 2011, 22:08

De omtrek van mijn cirkeltje is 3.1415........ centmeter of, 3 centimeter 1 milimeter 4 tiende millimeter 1 honderste millimeter 5 duizendste millimeter 9 tienduizendste millimeter en ga zo maar verder dus het getal Pi is niet groter dan een goeie 3 centimeter.... denk ik. (men gaat vermenigvuldigen met 3.1415... cm x middellijn en men krijgt terug centimeter als uitkomst) is dit logisch?
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor Renate » 10 jun 2011, 23:04

Pi is een getal, zonder verdere eenheid. Als jouw cirkeltje een middelijn van 1 cm heeft, is de omtrek pi centimeter. Als de middellijn 1 meter is, is de omtrek pi meter.
Renate
 
Berichten: 2234
Geregistreerd: 24 jan 2011, 00:52

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 11 jun 2011, 08:47

Nu ja, Pi centimeter of Pi meter ik kan enkel opmerken wanneer ik mijn cirkeltje doorknip en er een lijnte van maak en dit opmeet dat het 3.1415.... centimeter is en meer niet, zo is het nu eenmaal aangeduid op mijn meetlat en heb ik geleerd dat daar centimetertjes en millimetertjes opstaan en geen Pi(etjes), ik heb er geen problemen mee dat de omtrek wereld vanaf nu 40.000 Pi kilometer is, o.k.
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor Lorre » 11 jun 2011, 12:10

Avatar gebruiker
Lorre
 
Berichten: 341
Geregistreerd: 31 aug 2009, 14:18

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 11 jun 2011, 12:57

Inderdaad, dat is het 3.1415... cm.
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor TheSurvivor » 17 jun 2011, 21:24

Ferrar,

Na de gigantische mindfuck die ik had toen ik de gif op het werk zag (niet de meest bevorderlijke plaats voor intellectuele arbeid spijtig genoeg) kwam de realisatie van je eenvoudige fout.
Je rolt je cirkel af. Neemt je meetlat en meet 3,1 cm (tenzij jou latje 3,1416 cm kan meten). Neem je 1 meter dan meet je 314,2 cm. Of je neemt een betere lat. Eén die picometers/nanometers ziet. En je maakt je doormeter 10 km. Nog meer cijfertjes na de komma.
Hoe groter je nu je straal maakt, en hoe preciezer je latje, hoe meer cijfers na de komma je van pi zal tegenkomen. En dat kan je tot in het oneindige doen.
De volgende eenvoudige stap is dat je beseft dat je je latje kan vervangen door de theoretische berekening van pi. Omdat alles wat je met je latje gedaan hebt op dit punt de theoretische berekening van pi blijft ondersteunen.
En het volgende besef is dat pi inderdaad een eindig nummer is, maar wel eentje met een oneindig aantal decimalen.
Zolang je geen meting tegenkomt die de theoretische berekening van pi tegenspreekt is er geen reden om niet aan te nemen dat pi een oneindig aantal decimalen heeft.
Jij gaat uit van een beperkte meetapparatuur, maar wil van daaruit wel naar buiten generaliseren. Voorbij de mogelijkheden van je meetapparatuur (zelfs als dit in directe tegenspraak zou zijn met betere meetapparatuur die hetzelfde object meet - dat doe je ook met je geomens)
TheSurvivor
 
Berichten: 145
Geregistreerd: 17 jun 2011, 12:39

Re: piday

Berichtdoor Jan Willem Nienhuys » 17 jun 2011, 23:26

Je kunt ook de oppervlakte van een ingeschreven n-hoek berekenen.

Begin met n=12 . We nemen de straal gelijk aan 1. De ingeschreven driehoek bestaat uit 12 driehoeken met elk een oppervlakte van 0,25 exact, samen oppervlakte 3.

De formule voor de oppervlakte van de ingeschreven n hoek is: (n/2) x sin (360/n) . 360/n betekent hier 360/n graden.
Deze fomule met n=12 geeft 6 maal sin(30) = 3, want sin(30)=0,5.

Nu pas ik een trucje toe (dat Archimedes in het oude Griekenland waarschijnlijk in essentie ook al kende).
Als x gelijk is aan het kwadraat van sin A, dan is het kwadraat van sin (A/2) gelijk aan (1 - wortel (1-x))/2.
Je kunt dus beginnen met het kwadraat van sin(30) (dat is 0,25), en dan via de eenvoudige formule telkens
het kwadraat van de sinus van de halve hoek berekenen.

Dit geeft bij
30 graden 0,25
30/2 graden 0,0669872
30/4 graden 0,017037
30/8 graden 0,004277693
30/16 graden 0,001075384
als we het laatste getal kwadrateren en met 96 vermenigvuldigen, krijgen we (als onze rekenmethode nauwkeurig genoeg is)
de oppervlakte van de ingeschreven 96-hoek (3,1410319 op mijn calculator).

Je kunt met een soortgelijke methode ook de oppervlakte van de omgeschreven 96- (of wat dan ook) hoek bepalen.

Een volgend trucje is dat als de omgeschreven n-hoek oppervlakte A heeft en de ingeschreven n-hoek oppervlakte B heeft,
dan is (2A + B)/3 een nog veel betere schatting van de oppervlakte van de cirkel. Met die truc ben je bij de 96-hoek al uitgekomen
op 3,1415931.

Je kunt natuurlijk ook afschuwelijk nauwkeurig een cirkel met een straal van een kilometer maken, uitrollen en nauwkeurig de halve omtrek bepalen op 3 kilometer, 141 meter en 592,97 millimeter. Maar waarom zou je, als je met geduldig herhaald worteltrekken exact hetzelfde result kunt krijgen, zonder rekening te hoeven houden met meetfouten van allerlei soort?

Er zijn nog veel andere methoden, maar die zijn niet zo eenvoudig uit te leggen.
Jan Willem Nienhuys
 
Berichten: 787
Geregistreerd: 09 dec 2007, 11:09
Woonplaats: Waalre, Nederland

Re: piday

Berichtdoor ferrar » 25 jun 2011, 22:35

Hoe men zich ook draait of keert met het getal pi is niks aan te vangen , vermenigvuldigen, optellen aftrekken of delen ??? er is zelfs geen naam aan gegeven, het is een getal en dat is al. Het bewijs waarom het getal pi bestaat is zelfs nog niet gegeven, en zeg me hoe te bewijzen dat het getal pi juist is, het is zelfs een benadering, is het nog plezant om verder te gaan dan acht biljoen cijfertjes na de comma? wat is het eerste cijfertje na acht biljoen? hééél erg boeiend....
ferrar
 
Berichten: 59
Geregistreerd: 07 jun 2011, 10:29

Re: piday

Berichtdoor Jefke » 25 jun 2011, 22:52

Onzin natuurlijk. Het is niet omdat een getal niet precies is uit te schrijven in een decimale notatie dat het getal niet begrepen is.
Pi is niets abnormaals vanuit wiskundig standpunt gezien.
Er zijn nog veel zo'n getallen. bvb wortel 2, wortel 3, wortel 5... Het getal e (van de natuurlijke logaritme).
Waarom die getallen bestaan is volgens mij een foute vraag. Dat getal definieert gewoon de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Daarom bestaat het. Dat het geen natuurlijk of rationeel getal is... tja... er zijn er nog zo veel...
Het getal pi is natuurlijk juist. enig probleem: je kan het niet correct uitschrijven. Maar vraag maar hoeveel cijfers je wil en we schrijven het uit als je betaalt voor de computertijd.
Ook in de fysica zijn verschijnselen bijna nooit mooie ronde getallen. Neem nu bvb het getal van Avogadro dat het aantal moleculen in één mol van een stof definieert. Het is: 6,02x10^23, maar dat is maar een benadering. Het is geen rond getal. Waarom zijn er niet precies 10^23 moleculen in een mol? (dus een 1 met 23 nullen achter)
"That which can be asserted without evidence, can be dismissed without evidence." (Christopher Hitchens)
Avatar gebruiker
Jefke
 
Berichten: 199
Geregistreerd: 22 feb 2008, 22:51

Re: piday

Berichtdoor Jan Willem Nienhuys » 25 jun 2011, 23:46

Het bewijs waarom het getal pi bestaat is zelfs nog niet gegeven,


Het bewijs is wel gegeven! Dat soort getallen zijn altijd limieten. Ik heb zojuist expliciet een procédé aangegeven dat bewijsbaar convergeert. Dat wil zeggen, dat als iemand een klein positief getalletje E opgeeft ik je kan vertellen hoe lang je moet doorgaan voor alle volgende getallen in de aangegeven reeks onderling minder dan E verschillen, ongeacht hoe klein jij E kiest.

Wij wiskundigen vinden dat dat als je een dergelijke rij hebt, dan definieert die rij een zogeheten reëel getal.

Je kunt wel vinden dat getallen die alleen maar bekend zijn als limieten van rijen niet 'echt' bestaan, maar dan moet je maar eens proberen op basis van jouw getalsbegrip een consistent en bruikbaar wiskundig systeem in elkaar te zetten. Je kunt je natuurlijk op het standpunt stellen dat er eigenlijk maar drie getallen zijn: 0, 1, veel, of dat getallen gedachteconstructies zijn die helemaal niet bestaan.

Maar wij wiskundigen wisten al heel lang dat sommige types berekeningen (zoals het bepalen van de decimale ontwikkeling van 1/3 of van wortel 2) eindeloos kunnen doorlopen en steeds nauwkeuriger antwoorden geven. Nog in de 17de en 18de eeuw was het getalsbegrip niet nauwkeurig genoeg om dat formeel te snappen, men rekende in die tijd ook met oneindig kleine getallen.

Dus als je het getalsbegrip op basis van limieten niet snapt is dat helemaal niet erg, want daar hebben de wiskundigen met zijn allen ook een eeuw of zo over gedaan.

Het uitrekenen van de decimalen van pi wordt niet vgedaan omdat ze ergesn voor nodig zijn, maar gewoon om de sport. Dus om dezelfde reden als een ander wil laten zien hoe snel hij of zij kan hollen (al dat hardlopen in stadions dient ook nergens toe, daar zijn geen treinen die men moet halen, of leeuwen die men moet ontlopen).
Jan Willem Nienhuys
 
Berichten: 787
Geregistreerd: 09 dec 2007, 11:09
Woonplaats: Waalre, Nederland

Re: piday

Berichtdoor stefaandepraetere » 26 jun 2011, 08:00

Deze is mijn favoriet om pi te benaderen : de naald van Buffon
http://www.pandd.demon.nl/benpi1.htm
De eenvoud zelve en verder dan een paar cijfers ga je niet geraken maar toch geniaal vind ik :)

Trouwens Jan Willem, achter je trein aanhollen is ook zinloos want je bent toch altijd te laat!
stefaandepraetere
 
Berichten: 746
Geregistreerd: 31 jul 2008, 23:11

Re: piday

Berichtdoor Jan Willem Nienhuys » 26 jun 2011, 17:34

Met Buffon is wel een massa werk! Ik reken uit dat als je het 1600 keer probeert, je nog met een onnauwkeurigheiod van plus of min 8 in de tweede decimaal moet rekening houden en een op de drie pogingen een nog grotere afwijking, en dat je bij zoveel worpen al een probleem krijgt met de interpretatie van de gevallen dat de naald ogenschijnlijk net op lijnen valt.

Als je een fysieke methode wilt, kun je beter gewoon een groter cirkel en het omgeschreven vierkant netjes tekenen en dan uitknippen en wegen. Volgens mij is dat nauwkeuriger, ten minste, als je een goede weegschaal hebt.
Jan Willem Nienhuys
 
Berichten: 787
Geregistreerd: 09 dec 2007, 11:09
Woonplaats: Waalre, Nederland

Re: piday

Berichtdoor Jefke » 26 jun 2011, 19:28

Een andere leuke is de montecarlo methode. Die kan je gemakkelijk programmeren.
Je tekent een kwart cirkel in een omschreven vierkant. Dan bereken je twee randomgetallen tussen 0 en de straal van de cirkel / zijde van het vierkant als de coordinaten van een willekeurig punt binnen dat vierkant. Je berekent de afstand van dat punt door de oorsprong en kijkt zo of het binnen of buiten de cirkel ligt.
De verhouding tussen de punten binnen de cirkel tov alle punten is gelijk aan PI/2.
"That which can be asserted without evidence, can be dismissed without evidence." (Christopher Hitchens)
Avatar gebruiker
Jefke
 
Berichten: 199
Geregistreerd: 22 feb 2008, 22:51

Re: piday

Berichtdoor Pulsar » 26 jun 2011, 20:31

Het is opvallend hoeveel formules er zijn waarin pi opduikt. Wikipedia staat er vol mee:
http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulae_involving_%CF%80
Pulsar
 
Berichten: 81
Geregistreerd: 13 jun 2011, 19:35

Re: piday

Berichtdoor stefaandepraetere » 26 jun 2011, 21:36

Kmoet toegeven Jan Willem dat ik de buffonmethode enkel digitaal geprobeerd heb, vooral omdat je inderdaad maar heel langzaam de waarde van pi op een paar getallen na de komma benadert. Desalnietemin vind ik het een schoontje in al zijn eenvoud.
De knutselaars onder ons kunnen ook in drie dimensies aan de slag. Je maakt een kubus waarin je een bal kan plaatsen waarbij de diameter gelijk is aan de zijde. Allebei vullen met water en de deling van het gewicht zou ook een verhouding van 4/3 pi moeten geven als ik mijn meetkunde nog juist herinner.
stefaandepraetere
 
Berichten: 746
Geregistreerd: 31 jul 2008, 23:11

Re: piday

Berichtdoor Blueflame » 28 jun 2011, 18:58

Nonsense is our core business
Avatar gebruiker
Blueflame
Site Admin
 
Berichten: 4139
Geregistreerd: 20 okt 2006, 12:43


Keer terug naar Wetenschap

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers. en 2 gasten